Khái niệm định thức xuất hiện đầu tiên gắn với việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn. Hệ này có một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi định thức của ma trận tương ứng với hệ phương trình này khác 0.

Ví dụ hệ hai phương trình tuyến tính hai ẩn:

{ a . x + b . y = e , c . x + d . y = f , {\displaystyle {\begin{cases}a.x+b.y=e,\\c.x+d.y=f,\end{cases}}}

có các hệ số của các ẩn tạo thành ma trận vuông:

A = [ a b c d ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}

định thức của nó là:

det(A)=ad-bc.

Nếu det(A) khác 0, hệ có nghiệm duy nhất

x = e d − b f a d − b c ; y = a f − c e a d − b c {\displaystyle x={\frac {ed-bf}{ad-bc}}\;\;;y={\frac {af-ce}{ad-bc}}} .

Nếu det(A) = 0 hệ có thể có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm nào.

Nếu e = f = 0, hệ trên là một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, nó luôn có ít nhất một nghiệm tầm thường là x = 0 và y = 0. Khi đó hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức của hệ bằng không.